Mp board 10th math Half yearly paper 2021

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एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 4 एवं 5 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या होगा ? 2. 3 और 12 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा ?

3. दो संख्याओं a एवं b के LCM(a, b) एवं HCF(a, b) क्रमश: x एवं y हैं। a, b, x और y में क्या सम्बन्ध होगा?

4. यदि a = bq तो a और b में क्या सम्बन्ध है?

5. यदि x = P q एक ऐसी संख्या है कि q के अभाज्य गुणनखण्ड 2".5m प्रकार के नहीं हैं, जहाँ n एवं m ॠणेतर पूर्णांक हैं, तो x का दशमलव प्रसार कैसा होगा ?

उत्तर - 1. 1 (एक), 

2.12,

 3. a x b = x x y, 

4. b, a का एक गुणनखण्ड है, 

5. असांत आवर्ती।

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल : हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है। अतः हम a और b दो सह a अभाज्य पूर्णांक ऐसे लेते हैं कि √5 = 6, जहाँ b ≠ 0

b√√5 = a 562 = 2 अतः 2, 5 से विभाज्य है अर्थात् a, 5 से विभाज्य है। अतः हम a = 5c ले सकते हैं, जहाँ एक पूर्णांक है।

[दोनों ओर वर्ग करने पर ]

5b2 = (5c)2 = 25c2 = b2=5C2

 अतः b2, 5 से विभाज्य है अर्थात् b भी 5 से विभाज्य है। इसलिए a और b में कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है।

लेकिन यह इस तथ्य से विरोधाभासी है कि a और b दो सह अभाज्य पूर्णांक हैं। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।

अतः, इससे निष्कर्ष निकलता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। 

       Unit-2 Polynomials

 रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात ….. की घात कहलाती है।

2.घात 3 के बहुपद...'बहुपद कहलाते हैं।

3. (x - 1 ) (x - 2 ) के शून्यक होंगे…...एवं ।

4. दो बहुपदों का योग….होता है।

5.ax + bx + c एक…...बहुपद का उदाहरण है।

6. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है।

7. रैखिक बहुपद के अधिकतम…...शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर - 1. बहुपद, 2. त्रिघात, 3. 1, 2, 4. एक बहुपद, 5. द्विघात, 6. शून्यक, 7. एक।

सत्य/असत्य

1. एक द्विघात बहुपद ax 2 + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a=not 0.

2. √x + 2 एक बहुपद है।

 3. बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है। 

4. द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।

5. एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0. 

6. घात 2 के बहुपद द्विघात बहुपद कहलाते हैं।

उत्तर - 1. सत्य, 2. असत्य, 3. सत्य, 4. असत्य, 5. सत्य, 6. सत्य ।

Unit-2

बहु-विकल्पीय प्रश्न

1. चरx के बहुपद p(x) में .x की निम्न घात बहुपद की घात कहलाती है 

(a) निम्नतम घात

(b) उच्चतम घात

(d) घातों का अन्तर।

c) समस्त घातों का योग

 2. द्विघात बहुपद में बहुपद की घात होगी:

 (a) 1 

(b) 2

(c) 3

(d) अनन्त

3. द्विघात बहुपद  ax2  + bx + c के शून्यकों का योगफल होता है:

 a)b/a

 (b) a/b

 (c) - b 

4. द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यकों का गुणनफल होता है: 

(a) a 

B)c/a

5. यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x2 + kx + 1 का एक शून्यक-3 है तब k का मान होगा : 

(a)4/3

b)-4/3

C)⅔

d)-⅔

6. एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक-3 एवं 4 हैं होगा :

(a) x² - x + 12

 (b) x2 + x + 12

 (c) 2 -6 

(d) 2x² + 2x - 24.

 7. यदि किसी द्विघात बहुपद x2 + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं 3 हों, तो :

(a) a=-7, b =- 1 (b) a= 5, b=-1 (c) a = 2, b==6 (d) a= 0, b= - 6,

Que. रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।

2. घात 3 के बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाते हैं। 

3. (x - 1) (x - 2) के शून्यक होंगे..1 एव 2.

4. दो बहुपदों का योग एक बहुपद होता है।

5.ax2 + bx + c एक द्विघात

बहुपद का उदाहरण है।

6.चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। शून्यक कहलाता है।

7. रैखिक बहुपद के अधिकतम एक शून्यक हो सकते हैं। 

उत्तर - 1. बहुपद, 2. त्रिघात, 3. 1, 2, 4. एक बहुपद, 5. द्विघात, 6. शून्यक, 7. एक।

प्रश्न 1. निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए :

(i) x² - 2x -8, 

(ii) 4s² - 4s + 1,

(iii) 6.xc2 – 3 – 7x,

(iv) 4u 2 + 8u,

(vi) 3x2 - x - 4,

(vii) x2 + 7x + 10,

(v) T2 - 15,

(viii) X2 – 3,

 (ix) 4x2 - 3x – 4,

(x) 3x² + 4x-4,

 (xi) 5t² + 12t+ 7,

 (xii) 2x² + 7/7 x + ³/ 

(xiii) 4x2 + 5 / 2 x - 3, 

प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:

(i) _p (x) = x3- 3x2 + 5x -3, g (x) =x2 - 2

(ii) p (x) = x4 - 3x2 + 4x + 5, g (x) =x2 +1-x 

(iii) p (x) = x4  – 5x + 6, g (x) = 2 - x2

(iv) p (x) = 2x2 + 3x + 1, g (x) = x + 2

(v) p (x) = 3x3 + x2 + 2x + 5, g(x) = 1+2x+x2

(vi) p (x) = 3x2 –x3 - 3x + 5, g (x) = x-1-x2

(vii) p (x) = x3 – 27x2 + 8x + 18, g (x) = x-1